Упражнения 1.14, 1.15, 1.16, 1.17, "Искусство схемотехники", 3-е издание

Упражнение 1.14

Определите энергию, запасаемую конденсатором емкостью C, когда его заряжают от нуля вольт до некоторого конечного значения V_f .Ток заряда не постоянный (хотя, если вы предположите обратное, то вреда не будет). В каждый момент времени скорость накопления энергии в конденсаторе будет определяться произведением напряжения и тока: v(t)‧i(t), [Дж/с]. Поэтому вам необходимо проинтегрировать приращение энергии в конденсаторе по всему периоду зарядки:

(1)

В наличии: V_min = 0 В; V_max = V_f.  

E_C – ?

Ток, протекающий через конденсатор во время зарядки, определяется следующим общеизвестным выражением:

(2)

Подставив выражение (2) в (1), получим выражение для приращения энергии конденсатора, удовлетворяющее исходным данным:

(3)

Теперь, проинтегрируем выражение (3) и получим формулу для определения запасенной в конденсаторе энергии:

Упражнение 1.15

Выведите формулу для емкости двух последовательно соединенных конденсаторов. Подсказка: поскольку точка соединения конденсаторов больше никуда не подключена, это означает, что на каждом из них накапливаются одинаковые заряды.

В наличии: Q₁ = Q₂.

C – ?

Воспользовавшись правилом Кирхгофа для напряжений, получим:

(1)

Напряжения в схеме можно выразить через величины зарядов и емкостей конденсаторов:

(2)

Подставив выражения (2) в (1), получим:

(3)

Заряды конденсаторов будут не только равны между собой, но и общий заряд будет един для всей нашей системы:

(4)

Учитывая условие (4), выражение (3) примет вид:

(5)

Преобразовав выражение (5), получим формулу для емкости двух последовательно соединенных конденсаторов:

Упражнение 1.16

Покажите, что время нарастания выходного сигнала (время, за которое сигнал меняется с уровня 10% до уровня 90% от его максимального значения) при зарядке конденсатора через резистор, будет равно 2,2RC.

В наличии: v_o(t₁) = 0,1V_B; v_o(t₂) = 0,9V_B.

{t_r = 2,2RC} – ?

В соответствии с условиями упражнения время нарастания сигнала будет равно:

(1)

Из материалов книги нам известно, что функция зарядки конденсатора будет иметь вид:

(2)

В момент времени t₁, функция (2) примет вид:

(3)

С помощью выражения (3), получаем момент времени t₁:

(4)

В момент времени t₂, функция (2) примет вид:

(5)

С помощью выражения (5), получаем момент времени t₂:

(6)

Подставив выражения (4) и (6) в формулу (1), мы сможем определить время нарастания сигнала при зарядке конденсатора через резистор:

Замечание.

Аналогичным образом можно доказать, что за время (время спада сигнала) равное 2,2 RC, конденсатор разряжается через резистор с 90% до 10% от максимального уровня напряжения на нем. Точно таким же образом обстоят дела и с правилом «5RC». Правило «5RC» гласит, что за время, равное 5RC, конденсатор заряжается (или разряжается) через резистор на 99% от максимального уровня напряжения на нем.

Упражнение 1.17

На рисунке 1.36 изображена электрическая схема, со следующими параметрами: R₁ = R₂ = 10 кОм; C = 0,1 мкФ. Определите функцию изменения выходного напряжения во времени при скачкообразном изменении входного напряжения. Изобразите эту функцию графически.

В наличии: R₁ = R₂ = 10 кОм; C = 0,1 мкФ.

v_o(t) – ?

Для решения упражнения прибегнем к эквивалентной схеме Тевенина, как и советуют авторы.

Как мы уже знаем, напряжение эквивалентного источника будет равно выходному напряжению с делителя, образованного резисторами R₁ и R₂:

(1)

Внутреннее сопротивление эквивалентного источника для делителя напряжения будет равно:

(2)

При скачкообразном изменении входного напряжения, конденсатор начнет заряжаться, поэтому временная функция на выходе нашей схемы будет иметь следующий вид:

(3)

Вычислим значение постоянной времени для нашей RC-цепи с учетом (2):

(4)

С учетом рассчитанных параметров (1) и (4), выражение (3) примет окончательный вид: