Упражнения 1.26, 1.27, 1.28, 1.29, 1.30, "Искусство схемотехники", 3-е издание

Упражнение 1.26 
Покажите, что если , то и A = BC, где A, B и C - модули комплексных чисел. Подсказка: представьте каждое из комплексных чисел в полярной форме, например, . 
В наличии:  
(1) 
(2)

Вычисления будут производиться с помощью комплексных величин, как и описано в книге. Поэтому, для полного понимания предмета, следует предварительно прочесть Приложение А книги по теме комплексных чисел. 
Для того, чтобы найти решение упражнения, нужно просто выражение (2) подставить в формулу (1): 

 
(3) 
Из выражения (3) очевидно, что: 

Упражнение 1.27 (необязательное) 
Докажите, что в электрической цепи, где протекающий ток сдвинут по фазе на 90° относительно напряжения, в среднем за период мощность не потребляется.

В наличии:  
(1) 
(2) 
P_mid(Δt = T) – ? 

 Итак, у нас в наличии две синусоидальные функции напряжения v(t) и тока i(t), изменяющиеся во времени t, с амплитудами V_max и I_max, сдвинутых друг относительно друга на 90°, где ω – угловая частота сигнала. 
Выражение (2) можно переписать в виде косинуса: 
(3) 
Средняя мощность за промежуток времени Δt по определению является отношением полной мощности P(Δt), потребленной за время Δt, к величине Δt: 
(4)

Полная мощность за промежуток времени Δt является интегралом от мгновенного значения мощности p(t): 
(5) 
Мгновенное значение мощности определяется произведением функций напряжения и тока: 
(6) 
C учетом (6), выражение (5) примет вид: 
(7) 
Подставив в (7), выражения (1) и (3) мы получаем следующее: 

(8) 
Воспользуемся тригонометрической формулой для произведения синуса и косинуса углов α и β, которая приводится в книге, в Приложении А: 
(9) 
Применив формулу (9) к выражению (8), получим: 

(10) 
С учетом  (10), выражение (4) примет вид: 
(11) 
Угловая частота ω определяется следующим общеизвестным уравнением: 
(12) 
Частота сигнала f обратно пропорциональна его периоду T: 
(13) 
С учетом  (13), выражение для угловой частоты (12) примет вид: 
(14) 
С учетом  (14), выражение (11) примет окончательный вид: 
(15) 
Произведем вычисления по формуле (15), для промежутка времени Δt, равного периоду сигнала: 

Таким образом, мы доказали, что при условиях, указанных в упражнении,  в среднем за период сигнала мощность не потребляется. 

Упражнение 1.28 
Покажите, что вся средняя мощность, сообщенная предыдущей схеме, потребляется резистором. Для этого подсчитайте величину выражения . Какова эта мощность, в ваттах, для последовательной цепи из конденсатора с номиналом 1 мкФ и резистора с номиналом 1 кОм, подключенной к промышленной сети переменного тока с напряжением 115 В и частотой 60 Гц. 

В наличии: V_i  = 115 В; f = 60 Гц; R = 1 кОм; C = 1 мкФ. 

Вычисления будут производиться с помощью комплексных величин, как и описано в книге. Поэтому, для полного понимания предмета, следует предварительно прочесть Приложение А книги по теме комплексных чисел. 
Средняя мощность, потребляемая схемой, будет определяться произведением тока и напряжения:

(1)

Звездочкой помечаются комплексно-сопряженные величины. Средняя потребляемая мощность – величина всегда положительная, поэтому для анализа цепей переменного тока идут на некоторые ухищрения. В формулы вводят комплексно-сопряженные величины, в соответствии с формулой из приложения A: 
(2)

Эффективное комплексное напряжение равно: 

(3) 
В соответствии с законом Ома, ток в схеме можно выразить через входное напряжение и импеданс схемы Z: 
(4) 

Импеданс схемы равен: 
(5) 
где  
X_C – реактанс конденсатора. 
Нам уже известно, что реактанс конденсатора равен: 
(6) 
где  
– мнимая единица, 
ω – угловая частота сигнала. 
С учетом (6), выражение (5) примет следующий вид: 
(7) 
Подставив в (4) выражения (3) и (7), получим: 

(8) 
В соответствии с выражением (8) определим комплексно-сопряженное число: 
(9)

Подставив (3) и (9) в (1), получим формулу средней мощности, потребляемой схемой: 

(10) 
В соответствии с условиями упражнения и аналогично формуле мощности в цепи постоянного тока, средняя мощность, потребляемая резистором, будет равна: 
(11) 
Применив к нашей схеме формулу коэффициента передачи по напряжению, выведенную ранее для резистивного делителя, получим: 
(12) 
С учетом (3) и (7), выражение (12) примет вид: 

(13) 
В соответствии c (13), комплексно-сопряженное напряжение на резисторе будет равно: 

(14) 
Подставим (13) и (14) в (11): 

(15) 
Сравнивая выражения (10) и (15), можно прийти к выводу, что они идентичны, следовательно: 

 Вычислим среднюю мощность. 
 В соответствии с выражением (6), величина реактанса конденсатора равна: 
(16) 
Подставив (16) в (15), мы получим: 
(17) 
Угловая частота связана с частотой сигнала следующим соотношением: 

(18)

Подставив (18) в (16), сможем вычислить величину реактанса конденсатора: 

(19) 
Теперь, вычислим по формуле (17), с учетом результатов (19), искомую величину средней мощности: 

Упражнение 1.29 
Покажите, что если последовательно добавить в последовательную RL-цепь конденсатор, с емкостью С = 1/(ω²L), то коэффициент мощности будет равен единице. Затем, то же самое сделайте для параллельного подключения конденсатора к параллельной RL-цепи.  
В наличии: R = const.; L = const.; V = const.; ω = const.; 
(1)

а) Последовательное соединение. 

В соответствии с материалами книги, коэффициент мощности равен: 
(2) 
Средняя мощность, потребляемая схемой, будет определяться произведением тока и напряжения

(3)

Согласно правилам преобразования, эффективное комплексное напряжение в сети равно: 
(4)

По закону Ома, эффективный комплексный ток в схеме равен: 
(5) 
Импеданс последовательной схемы равен: 
(6) 
Реактанс конденсатора равен: 
(7) 
где

– мнимая единица, 
ω – угловая частота сигнала. 
Реактанс катушки индуктивности равен: 
(8) 
Перепишем выражение (6) с учетом (7) и (8): 

(9) 
Подставив выражения (4) и (9) в (5), получим: 

(10) 
В соответствии с выражением (10) определим комплексно-сопряженное число: 
(11) 
Подставив  (4) и (11) в (3), получим окончательное выражение для средней потребляемой мощности: 

(12) 
С учетом (4), величина эффективного комплексного напряжения равна: 
(13)

С учетом (10), величина эффективного комплексного тока равна: 

(14) 
Подставив (12), (13) и (14) в (2), мы получим окончательное выражение для коэффициента мощности: 


(15) 

Теперь подставим в формулу (15) выражение (1) и вычислим коэффициент мощности:

б) Параллельное соединение. 

Для параллельного соединения справедливы формулы (2) – (5). 
Импеданс параллельной схемы равен: 
(16) 
Реактансы конденсатора и катушки индуктивности определяются по формулам (7), и (8).  
Подставив выражения (7) и (8) в (16), мы получим: 
(17)

С мнимой единицей в знаменателе работать неудобно, поэтому переведем ее в числитель. Для этого умножим и числитель, и знаменатель компонентов формулы (17), где имеется мнимая единица, на мнимую единицу: 

(18) 
Подставив выражения (4) и (18) в (5), получим: 
(19) 
В соответствии с выражением (19) определим комплексно-сопряженное число: 
(20) 
Подставив  (4) и (20) в (3), получим окончательное выражение для средней потребляемой мощности: 

(21)

Величина эффективного комплексного напряжения будет определяться, как и в предыдущем случае, по формуле (13). 
С учетом (19), величина эффективного комплексного тока равна: 
(22) 
Подставив (21), (13) и (22) в (2), мы получим окончательное выражение для коэффициента мощности: 

(23) 
Теперь подставим в формулу (23) выражение (1) и вычислим коэффициент мощности: 

Замечание 
Данное упражнение дает представление о механизмах коррекции коэффициента мощности на промышленных предприятиях.

Упражнение 1.30 
Покажите, что приведенное ранее выражение для амплитудно-частотной характеристики RC-фильтра низких частот справедливо. 

В наличии: R = const.; C = const.; ω = const.

Вычисления будут производиться с помощью комплексных величин, как и описано в книге. Поэтому, для полного понимания предмета, следует предварительно прочесть Приложение А книги по теме комплексных чисел.

Комплексный коэффициент передачи по напряжению равен отношению выходного напряжения к входному напряжению: 
(1) 
Применив к нашей схеме уже знакомую формулу для выходного напряжения простого резистивного делителя, мы получим выражение для выходного напряжения: 
(2) 
Реактанс конденсатора равен: 
(3) 
где 
 – мнимая единица, 
ω – угловая частота сигнала. 
Подставив (3) в (2), мы получаем: 

(4) 
Теперь (4) подставляем в (1) и получаем выражение для комплексного коэффициента передачи по напряжению: 

(5) 
В соответствии с выражением (5), величина коэффициента передачи по напряжению будет равна: