Упражнения 1.31, 1.32, 1.33, 1.34, 1.35, 1.36, "Искусство схемотехники", 3-е издание

Упражнение 1.31 
Докажите последнее утверждение. 
Упражнению предшествует следующий абзац. 
«... А также имейте в виду, что фазовый сдвиг плавно изменяется от 0° (для частот, меньших частоты среза) до 90° (для частот превышающих частоту среза). На частоте среза (f_c), по уровню «- 3 дБ» амплитудно-частотной характеристики, фазовый сдвиг составляет 45°. Практическое правило для односекционного RC-фильтра гласит: фазовый сдвиг составляет приблизительно 6° от предельных величин на частотах 0,1f_c и 10f_c .» 

Рис. 1.102. ФНЧ 

Рис. 1.104. Фазочастотная характеристика (ФЧХ) 

В наличии:  f₁  = 0,1f_c; f₂  = 10f_c; φ_min = - 90°; φ_max = 0°; R = const.; C = const. 

Вычисления будут производиться с помощью комплексных величин, как и описано в книге. Поэтому, для полного понимания предмета следует предварительно прочесть Приложение А книги по теме комплексных чисел. 
Согласно рисунку 1.104,  фазовый сдвиг на частоте f₁ будет равен: 

(1)

где  
φ₁ – фаза на частоте f₁. 
Согласно рисунку 1.104,  фазовый сдвиг на частоте f₂ будет равен: 

(2)

где  
φ₂ – фаза на частоте f₂. 
В упражнении 1.30 мы уже доказали, что комплексный коэффициент передачи по напряжению для простого RC-фильтра низких частот равен: 

(3)

где  
ω – угловая частота сигнала. 
Преобразуем немного выражение (3): 

(4)

Теперь, изобразим на комплексной плоскости число, образовавшееся в числителе выражения (4). 

С помощью комплексной плоскости и знания геометрии, мы можем вычислить тангенс фазы:

(5)

Из выражения (5) можно получить формулу для фазочастотной характеристики фильтра: 

(6)

Угловая частота ω определяется следующим общеизвестным уравнением: 

(7)

где  
f – частота сигнала. 
С учетом (7), выражение (6) примет вид: 

(8)

Частота среза фильтра по уровню «- 3 дБ» равна: 

(9)

Подставив (9) в (8), окончательно получим: 

(10)

Вычислим по формуле (10) фазу на частоте f₁: 

(11)

Вычислим по формуле (10) фазу на частоте f₂: 

(12)

Вычислим по формуле (1) фазовый сдвиг на частоте f₁, с учетом результатов вычислений (11): 

Вычислим по формуле (2) фазовый сдвиг на частоте f₂, с учетом результатов вычислений (12): 

Таким образом, мы доказали справедливость утверждения. 

Упражнение 1.32 
Используя комплексную плоскость, выведите формулу для амплитудно-частотной характеристики RC-фильтра высоких частот: 

В наличии: R = const.; C = const. 

Вычисления будут производиться с помощью комплексных величин, как и описано в книге. Поэтому, для полного понимания предмета следует предварительно прочесть Приложение А книги по теме комплексных чисел. 
Комплексный коэффициент передачи по напряжению равен отношению выходного напряжения к входному напряжению: 

(1)

Импеданс схемы равен: 

(2)

Реактанс конденсатора равен: 

(3)

где

– мнимая единица, 

ω – угловая частота сигнала. 
С учетом (3), выражение (2) примет вид: 

(4)

Теперь изобразим импеданс на комплексной плоскости в виде векторной диаграммы.

Глядя на схему фильтра и выражение (1) (в соответствии с законом Ома) мы можем утверждать о следующих пропорциональностях: 

 и (5)

С учетом условия (5), выражение (1) примет вид: 

(6)

Подставив выражение (4) в выражение (6), получим окончательную формулу для комплексного коэффициента передачи по напряжению для нашего фильтра: 

(7)

Теперь, в соответствии с формулой (7), очень просто получаем искомое выражение для амплитудно-частотной характеристики RC-фильтра высоких частот: 

Полученное выражение полностью удовлетворяет условиям упражнения. 
 
Упражнение 1.33 
На какой частоте RC-фильтр низких частот вносит затухание в 6 дБ (напряжение выходного сигнала равно половине входного)? Каким будет фазовый сдвиг на этой частоте? 
В наличии: R = const.; C = const.; 

(1)

f – ?, φ – ? 

Вычисления будут производиться с помощью комплексных величин, как и описано в книге. Поэтому, для полного понимания предмета следует предварительно прочесть Приложение А книги по теме комплексных чисел. 
По определению, комплексный коэффициент передачи по напряжению для нашего фильтра определяется отношением: 

(2)

Согласно выражению (2), величина комплексного коэффициента передачи по напряжению равна: 

(3)

С учетом (1), выражение (3) примет вид: 

(4)

В упражнении 1.30 мы доказали, что: 

(5)

где  
ω – угловая частота сигнала. 
Приравняв (4) и (5), получим: 

(6)

Угловая частота ω определяется следующим общеизвестным уравнением: 

(7)

где  
f – частота сигнала. 
Подставив (7) в (6) мы получим: 

(8)

Частота среза фильтра по уровню «- 3 дБ» равна: 

(9)

Подставив (9) в (8), мы сможем выразить искомую частоту: 

Для определения фазового сдвига на частоте f, необходимо построить векторную диаграмму импеданса на комплексной плоскости. 

X_C – реактанс конденсатора. 
Теперь, для определения фазы сигнала φ, вспомним о том, что комплексный коэффициент передачи по напряжению в экспоненциальной форме имеет вид: 

(10)

С другой стороны, комплексный коэффициент передачи по напряжению определяется соотношением (2). Обратив внимание на схему фильтра и соотношение (2), согласно закону Ома, мы можем утверждать: 

 и (11)

С учетом (11), выражение (2) примет вид: 

(12)

Чтобы привести выражение (12) к виду выражения (10), нам нужно каждый элемент выражения (12) представить в экспоненциальной форме. 

 

Реактанс конденсатора, согласно векторной диаграмме, равен: 

(13)

Импеданс, согласно векторной диаграмме, равен: 

(14)

Подставив (13) и (14) в (12), мы получим: 

(15)

Сравнив выражение (15) с выражением (10), мы получим: 

(16)

(17)

Согласно выражению (17), нам осталось вычислить угол α. Числовое выражение соотношения (16) задано выражением (4). Поэтому, будем вычислять угол α исходя из имеющегося соотношения (16). 
В соответствии с векторной диаграммой: 

(18)

С учетом (4), выражение (18) примет вид: 

(19)

И наконец, согласно выражению (19) мы можем вычислить угол α: 

(20)

Подставив (20) в (17), вычислим искомый сдвиг по фазе

 

Упражнение 1.34 
Посредством комплексной плоскости получите формулу амплитудно-частотной характеристики фильтра низких частот, выведенную ранее алгебраически. 

(1.36)

В наличии: R = const.; C = const. 

Вычисления будут производиться с помощью комплексных величин, как и описано в книге. Поэтому, следует предварительно прочесть Приложение А книги по теме комплексных чисел. 
Комплексный коэффициент передачи по напряжению равен отношению выходного напряжения к входному напряжению: 

(1)

Импеданс схемы равен: 

(2)

Реактанс конденсатора равен: 

(3)

где

 – мнимая единица, 
ω – угловая частота сигнала. 

С учетом (3), выражение (2) примет вид: 

(4)

Теперь изобразим импеданс на комплексной плоскости в виде векторной диаграммы. 

Глядя на схему фильтра и выражение (1) (в соответствии с законом Ома) мы можем утверждать о следующих пропорциональностях: 

 и (5)

 С учетом условия (5), выражение (1) примет вид: 

(6)

Подставив выражения (3) и (4) в выражение (6), получим окончательную формулу для комплексного коэффициента передачи по напряжению для нашего фильтра:

(7)

Теперь, в соответствии с формулой (7), получаем искомое выражение для амплитудно-частотной характеристики RC-фильтра низких частот: 

Полученная формула полностью соответствует формуле, выведенной ранее алгебраически для фильтра низких частот. 

 

Упражнение 1.35 
Получите формулу амплитудно-частотной характеристики (зависимости отношения V_o/V_i от частоты) для последовательной LC-схемы - "ловушки" с рисунка 1.108. 

Рис. 1.108. Режекторный RLC-фильтр («ловушка»). 

В наличии: R = const.; C = const.; L = const. 

Вычисления будут производиться с помощью комплексных величин, как и описано в книге. Поэтому, для полного понимания предмета следует предварительно прочесть Приложение А книги по теме комплексных чисел. 
Комплексный коэффициент передачи по напряжению равен отношению выходного напряжения к входному напряжению: 
(1)

Импеданс схемы равен: 

(2)

Реактанс последовательной LC-цепи равен: 

(3)

Реактанс конденсатора равен: 

(4)

где 

– мнимая единица, 
ω – угловая частота сигнала. 
Реактанс катушки индуктивности равен: 

(5)

С учетом выражений (4) и (5), формула (3) примет вид: 

(6)

Подставив выражение (6) в (2), мы получим окончательную формулу для импеданса схемы: 

(7)

Теперь изобразим импеданс на комплексной плоскости в виде векторной диаграммы. 

Глядя на схему фильтра и выражение (1) (в соответствии с законом Ома) мы можем утверждать о следующих пропорциональностях: 

 и (8)

С учетом условия (8), выражение (1) примет вид: 

(9)

Подставив выражения (6) и (7) в выражение (9), получим окончательную формулу для комплексного коэффициента передачи по напряжению для нашей схемы: 

(10)

Теперь, в соответствии с формулой (10), получаем искомое выражение для амплитудно-частотной характеристики режекторного фильтра: 

 

Упражнение 1.36 
Далеко не каждый проектировщик электронных схем знает, как простой электрик может установить приспособление для включения света так, чтобы любой из n-го числа выключателей независимо включал или выключал свет. Для решения упражнения необходимо в общих чертах рассмотреть схему с рисунка 1.122. Вам понадобятся два однополюсных двухпозиционных переключателя и  (n-2) двухполюсных двухпозиционных переключателя. 

Рис. 1.122. «Любимая» схема электрика: «трехлучевой» выключатель света. 

В данном упражнении необходимо модифицировать схему с рисунка 1.122. Ключевыми элементами при этом должны быть двухполюсные двухпозиционные переключатели (пунктиром на рисунке показана механическая связь). 

 Как следует из схемы, они должны быть помещены между двумя однополюсными двухпозиционными переключателями. Основной сложностью здесь является представление о том, как должны быть соединены электрически выводы двухполюсных двухпозиционных переключателей. Для решения упражнения, нужно рассмотреть упрощенную схему, содержащую два однополюсных двухпозиционных переключателя и один двухполюсный двухпозиционный переключатель. Представим все возможные ситуации с однополюсными двухпозиционными переключателями. 
Рубильники  однополюсных двухпозиционных переключателей в верхнем положении. Лампочка горит, цепь замкнута. 

Рубильники  однополюсных двухпозиционных переключателей в нижнем положении. Лампочка горит, цепь замкнута. 

Рубильник левого однополюсного двухпозиционного переключателя в верхнем положении, а правого – в нижнем. Лампочка не горит, цепь разомкнута. 

Лампочку нужно зажечь при переключении нашего двухполюсного двухпозиционного переключателя. Делаем переключение. 

Лампочка опять не горит. Значит нужно добавить недостающее электрическое соединение. 

Лампочка загорелась. Цепь замкнута. 
Теперь рубильник левого однополюсного двухпозиционного переключателя в нижнем положении, а правого – в верхнем. Лампочка не горит, цепь разомкнута. 

Лампочку нужно зажечь при переключении нашего двухполюсного двухпозиционного переключателя. Делаем переключение. 

Лампочка снова не горит. Значит нужно добавить еще одно недостающее электрическое соединение. 

Лампочка зажглась, и мы закончили синтез внутренней секции из двухполюсного двухпозиционного переключателя для нашей схемы из n-го числа переключателей.

Таким образом, схема из n-го числа переключателей примет окончательный вид.

Замечание. 
В настоящее время выпускаются электроустановочные изделия под общим названием «проходные выключатели», реализующие функции переключателей любого типа в нашей схеме.